FaceBook  Twitter  

Varianta 32

Prof: Gaga Loghin.

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine primul termen al progresiei geometrice b1,7,b3,28,

(5p) 2. Fie funcția f:(0,)R,f(x)=5x+log5x. Să se determine f(f(1))

(5p) 3. Se consideră dezvoltarea binomială  (20124x+2012x)9,x>0. Să se dedetermine termenul liber al dezvoltării.

(5p) 4. Se consideră mulţimea M a tuturor funcţiilor definite pe A ={2010, 2011, 2012}cu valori în B={1, 2, 3}. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o funcţie din mulţimea M, aceasta să fie injectivă .

(5p) 5. Se consideră punctele A(-2,3), B(3,m), C(2,4)şi D(n,5). Să se determine m,n R astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram .

(5p) 6. Fie ABC un triunghi, cu tgA=2, tgB=85311. Să se determine măsura unghiului C.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matricea A=(110001010), de ordin 3, cu elemente din mulțimea numerelor reale.

(5p) a) Să se verifice dacă A3A=A2I3

(5p) b) Să se arate că AnAn2=A2I3,nN,n3

(5p) c) Să se arate că suma elementelor matricei An este n+3

  1. Fie polinomul p(X)=X3+aX2+X+b,a,bZ și rădăcinile x1,x2,x3C

(5p) a) Să se afle rădăcinile polinomului p, pentru a=b=1

(5p) b) Să se determine a și b, știind că o rădăcină a polinomului este x=i.

(5p) c) Știind că b=1, să se determine a știind că polinomul admite o rădăcină rațională.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția f:(3,3)R,f(x)=lnx+33x.

(5p) a) Să se calculeze f(x) și să se determine intervalele de monotonie

(5p) b) Să se determine asimptotele funcției f

 (5p) c) Să se calculeze limxxf(1x)

  1. Se consideră șirul (In)n0,In=10ln(xn+1)x2+1dx,nN

(5p) a) Să se calculeze I0.

(5p) b) Să se studieze monotonia șirului

(5p) c) Folosind, eventual relația ln(1+t)t, să se arate că limnIn=0.