Varianta 32
Prof: Gaga Loghin.
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se determine primul termen al progresiei geometrice b1,7,b3,28,⋯
(5p) 2. Fie funcția f:(0,∞)→R,f(x)=5x+log5x. Să se determine f(f(1))
(5p) 3. Se consideră dezvoltarea binomială (20124√x+2012√x)9,x>0. Să se dedetermine termenul liber al dezvoltării.
(5p) 4. Se consideră mulţimea M a tuturor funcţiilor definite pe A ={2010, 2011, 2012}cu valori în B={1, 2, 3}. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o funcţie din mulţimea M, aceasta să fie injectivă .
(5p) 5. Se consideră punctele A(-2,3), B(3,m), C(2,4)şi D(n,5). Să se determine m,n∈ R astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram .
(5p) 6. Fie ABC un triunghi, cu tgA=2, tgB=8−5√311. Să se determine măsura unghiului C.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie matricea A=(110001010), de ordin 3, cu elemente din mulțimea numerelor reale.
(5p) a) Să se verifice dacă A3−A=A2−I3
(5p) b) Să se arate că An−An−2=A2−I3,∀n∈N,n≥3
(5p) c) Să se arate că suma elementelor matricei An este n+3
- Fie polinomul p(X)=X3+aX2+X+b,a,b∈Z și rădăcinile x1,x2,x3∈C
(5p) a) Să se afle rădăcinile polinomului p, pentru a=b=1
(5p) b) Să se determine a și b, știind că o rădăcină a polinomului este x=i.
(5p) c) Știind că b=1, să se determine a știind că polinomul admite o rădăcină rațională.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:(−3,3)→R,f(x)=lnx+33−x.
(5p) a) Să se calculeze f′(x) și să se determine intervalele de monotonie
(5p) b) Să se determine asimptotele funcției f
(5p) c) Să se calculeze limx→∞xf(1x)
- Se consideră șirul (In)n≥0,In=1∫0ln(xn+1)x2+1dx,n∈N∗
(5p) a) Să se calculeze I0.
(5p) b) Să se studieze monotonia șirului
(5p) c) Folosind, eventual relația ln(1+t)≤t, să se arate că limn→∞In=0.