Întrebare solutie reala

Buna ziua
Pentru ce valori ale lui:
\[a\in R \ sistemul \begin{cases} x^2+y^2&=z\\ x+y+z&=2a\\ \end{cases}\\ are\ o\ unica\ solutie\ reala\\ rezultate: a)a=0;b)a=\dfrac{1}{4};c)a=\dfrac{1}{2};\\ d)a=-\dfrac{1}{2};e)a=-\dfrac{1}{4}\\ multumesc\]

Buna ziua,

Daca nu e prea tarziu:

Din prima ecuatie avem \(z=x^{2}+y^{2}\), inlocuim in a doua:

\(x+y+x^{2}+y^{2}=2a\Leftrightarrow x^{2}+x+\frac{1}{4}+y^{2}+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=2a\), adica

\(\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=2a+\frac{1}{2}\).

Intrebare: cat ar trebui sa fie \(a\), ca ecuatia de mai sus sa aiba o singura rezolvare (reala)?

Buna ziua
Cred ca solutia este a=0 la care corespunde x=y=0.
Intr-adevar:
\[\left(\dfrac{1}{2}\right )^2+\left(\dfrac{1}{2}\right )^2=2\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{2}\]
multumesc

Daca puneti \(a=0\), aveti \(x=y=0\), intr-adevar. Dar puteti avea si \(x=y=-1\), si inca multe...
Care ar fi \(a\), pentru care sigur ati avea o singura rezolvare?
O idee: Suma a doua patrate de numere reale este pozitiva sau zero. Ce se intampla daca suma e zero?

Buna ziua
Pai daca suma este zero solutia ar fi x=-1/2,y=-1/2 iar a ar fi egal cu -1/4.
Atunci avem doua solutii?Cea aratat de mine ptr.a=0 si aceasta?
Nu mai stiu.....

Intrebarea era, cum trebuie sa alegem \(a\), ca sistemul sa aiba o solutie unica reala.

Ecuatia \(\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=2a+\frac{1}{2}\) are o solutie unica <=> partea dreapta a ecuatiei e zero, adica \(a=-\frac{1}{4}\).
(In cazul acesta avem \(\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=0\), adica \(x=y=-\frac{1}{2}\), rezolvarile sistemului sunt \(x=y=-\frac{1}{2}\), si \(z=\frac{1}{2}\) ).