Întrebare limita

Buna ziua
\[Sa\ se\ detremine\ n\in N,n\geq 2\ daca:\\ \lim_{x\to\1}\dfrac{x+x^2+x^3+\dots x^n-C_{n+1}^{2}x+C_{n}^{2}}{(x-1)^2}\\
= 120\\ rezultate:\\ a)n=3;b)n=4;c)n=6;d)nu\ exista;e)n=9.\]
Daca inlocuiesc prima suma de la numarator cu \[\dfrac{(1+x)n}{2}\]obtin la numarator zero inainte de efectuarea limitei.
Cum trebuie sa procedez in acest caz?multumesc

Buna ziua,

Aplicati l'Hospital de doua ori - cand calculati limita, obtineti

\(\frac{2\cdot 1+3\cdot 2+...+n\left ( n-1 \right )}{2}=\frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}-\left ( 1+2+...+n \right )}{2}=\frac{\left ( n-1 \right )n\left ( n+1 \right )}{6}\).

Atunci \(\frac{\left ( n-1 \right )n \left ( n+1 \right )}{6}=120\Leftrightarrow \left ( n-1 \right )n\left ( n+1 \right )=720\), \(n\in \mathbb{N}\).

Cum \(8\cdot 9\cdot 10=720\), rezulta ca \(n=9\).

Varianta corecta de raspuns: \(e)\).

Buna ziua
Am inteles foarte bine derivatele dupa l'Hospital.
De asemeni studiind mai atent rezolvarea dvs.am inteles acum totul foarte bine.
Va multumesc