× Indicații, rezolvări și soluții pentru problemele și exercițiile de liceu.

file Întrebare teorema LAPLACE

Mai Mult
acum 6 ani 8 luni #247 de delia99
delia99 a creat subiectul: teorema LAPLACE
Buna ziua
Va solicit ajutorul pentru a-mi explica teorema lui Laplace in calculul unui determinant.
Eu stiu asa:consideram un determinant de ordin n.Consideram un numar intreg \[1\leq k\leq n\ si\ randurile\ i_1,i_2..i_k\ si\ coloanele\ j_1,j_2...j_k\].Daca stergem celelalte randuri si coloane vom obtine un determinant de ordinul k denumit minorul lui D notat cu \[M^{i_1i_2...i_k}_{j1j2....jk}\]
Acum daca stergem randurile \[i_1i_2...i_k\ si\ coloanele\ j_1j_2...j_k\]vom obtine un determinant de ordinul n-k denumit minorul complementar al lui \[M^{i_1...i_k}_{j_1..j_k}\]si se numeste \[\widetilde{M}^{i_1..i_k}_{j_1...j_k}\]Notam cu \[A^{i_1..i_k}_{j_1..j_k}=(-1)^{i_1+i_2+\dots i_k+j_1+\dots j_k}\cdot\widetilde{M^{i_1...i_k}_{j_1..j_k}}\]care se numeste cofactor al lui
\[M^{i_1...i_k}_{j_1...j_k}\]
Construieste apoi urmatoaea matrce: \[\begin{pmatrix} A&O_n\\ -I_n&B\\ \end{pmatrix}\]din care daca \[c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}\]vom obtine determinantul:
\[D=\begin{vmatrix} a_{11}\dots a{1n}c_{11}\dots c_{1n}\\ \dots\dots\\ a_{n1}\dots a_{nn}c_{n1}\dots c_{nn}\\ -1\dots\dots0\dots 0\\ 0\dots\dots0 0\dots 0\\ 0\dots-1\ 0\dots 0\\ \end{vmatrix}\]
Mai se arata ca det(AB)=det(A+B)si
\[Gaseste\ ca D=(-1)^n\cdot(-1)^{1+2+\dots 2n}\cdot detC\]
De fapt scopul metodei LAPLACE este de a calcula determinantul D
si mi-ar fi foarte util daca se poate sa mi se dea un exemplu numeric
Multumesc!.

Vă rugăm Autentificare sau Crează un cont să participaţi la discuţie.

  • administrator
  • Avatarul lui administrator
  • Deconectat
  • Administrator
  • Administrator
  • Prof. Andrei Octavian Dobre
Mai Mult
acum 6 ani 8 luni - acum 6 ani 8 luni #251 de administrator
administrator a răspuns subiectului: teorema LAPLACE
Un exemplu :

În video semnele + sau – vin de la (-1)linie+coloană


Un alt exemplu:

\(\left| \begin{matrix}
1 & 2 & -1 \\
3 & 4 & -2 \\
4 & 0 & 3 \\
\end{matrix} \right|\overbrace{=}^{{{L}_{1}}}1\cdot {{\delta }_{11}}+2{{\delta }_{12}}+(-1){{\delta }_{13}}=\)
\(1\cdot {{(-1)}^{1+1}}\left| \begin{matrix}
4 & -2 \\
0 & 3 \\
\end{matrix} \right|+2\cdot {{(-1)}^{1+2}}\left| \begin{matrix}
3 & -2 \\
1 & 3 \\
\end{matrix} \right|+(-1){{(-1)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}
3 & 4 \\
1 & 0 \\
\end{matrix} \right|=\)
\(=12-22+4=-6\)
Ultima Editare: acum 6 ani 8 luni de administrator.

Vă rugăm Autentificare sau Crează un cont să participaţi la discuţie.

Mai Mult
acum 6 ani 8 luni #252 de delia99
delia99 a răspuns subiectului: teorema LAPLACE
Buna ziua
Va multumesc foarte mult pentru filmulet.
Acum pe mine m-ar interesa sa dezvolt un determinant care are mai multe linii si coloane ca spre exemplu:
\[\begin{vmatrix} 1&0&0&0&2\\ 0&1&0&0&3\\ x&0&1&0&4\\ x&x&0&1&5\\ x&x&x&0&6\\ \end{vmatrix}\]
Acest determinant fiind de ordin mai mare se imparte in doua zone si anume:linia unu si doi in prima zona si linia trei,patru si cinci in zona a doua.
Se formeaza apoi minorii din prima zona diferiti de zero care sunt:
\[\begin{vmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1&2\\ 0&3\\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0&2\\ 1&3\\ \end{vmatrix}\]care se inmultesc cu (-1)la o anumita putere si cu cofactorii respectivi si apoi se insumeaza toate rezultand valoarea determinantului.
Ma puteti ajuta sa imi indicati cum se face concret pe acest exemplu?multumesc mult

Vă rugăm Autentificare sau Crează un cont să participaţi la discuţie.

  • administrator
  • Avatarul lui administrator
  • Deconectat
  • Administrator
  • Administrator
  • Prof. Andrei Octavian Dobre
Mai Mult
acum 6 ani 8 luni #253 de administrator
administrator a răspuns subiectului: teorema LAPLACE
Se procedează ca în exemplele de mai sus dar trebuie să dezvoltați de mai multe ori după liniile sau coloanele unde aveți mai multe zerouri (pentru a calcula câți mai puțini determinanți).

Vă rugăm Autentificare sau Crează un cont să participaţi la discuţie.

  • Nepermis: pentru a crea subiect nou.
  • Nepermis: pentru a răspunde.
  • Nepermis: pentru a adăuga atașamente.
  • Nepermis: să-ți editeze mesajele.
Timp creare pagină: 0.116 secunde
Motorizat de Forum Kunena