Legi de compoziție. Structuri algebrice – teorie, formule și exemple rezolvate

Bacalaureat – Subiectul II · Algebră, clasa a XII-a. Legi de compoziție și proprietățile lor, forma canonică, monoid, grup, inel, corp, subgrup, morfisme și izomorfisme, clase de resturi \(\mathbb{Z}_n\), cu exemple rezolvate.

12.1Legi de compoziție și proprietățile lor

Definiție

O lege de compoziție (operație algebrică) pe mulțimea \(M\) este o funcție „\(*\)”\(:M\times M\to M\), \((x,y)\mapsto x*y\).

Fie „\(*\)” o lege pe \(M\) și \(H\subseteq M\).

Proprietate	Condiție
Parte stabilă	\(\forall x,y\in H\ \Rightarrow\ x*y\in H\)
Asociativitate	\((xy)z=x(yz),\ \forall x,y,z\in M\)
Comutativitate	\(xy=yx,\ \forall x,y\in M\)
Element neutru	\(\exists\, e\in M\) astfel încât \(xe=ex=x,\ \forall x\in M\)
Element simetrizabil	\(x\) este simetrizabil dacă \(\exists\, x^{\prime}\in M\) cu \(xx^{\prime}=x^{\prime}x=e\)

Elementul neutru, dacă există, este unic; la fel și simetricul unui element (când legea e asociativă).

Metodă de lucru

Pentru legi de forma \(x*y=xy+ax+ay+b\) este util să se caute forma canonică: \(x*y=(x+a)(y+a)+b-a^2\). Dacă \(b=a^2+a\), legea devine \(x*y=(x+a)(y+a)-a\), ceea ce simplifică enorm calculul lui \(e\), al simetricelor și al puterilor.

Exemplul 12.1

Pe \(\mathbb{R}\) se definește \(x*y=x+y-3\). Determinați elementul neutru și simetricul lui \(x\).

Rezolvare

\(x*e=x\ \Rightarrow\ x+e-3=x\ \Rightarrow\ e=3\). \(x*x^{\prime}=e\ \Rightarrow\ x+x^{\prime}-3=3\ \Rightarrow\ x^{\prime}=6-x\).

Exemplul 12.2

Pe \(\mathbb{R}\) se definește \(x*y=xy-2x-2y+6\). Arătați că \(x*y=(x-2)(y-2)+2\) și determinați \(e\).

Rezolvare

\((x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6\). ✓
\(x*e=x\ \Leftrightarrow\ (x-2)(e-2)+2=x\ \Leftrightarrow\ (x-2)(e-2)=x-2\ \Rightarrow\ e-2=1\ \Rightarrow\ e=3\).

↑ Cuprins

12.2Structuri algebrice

Monoid

\((M,*)\) este monoid dacă: (1) \(*\) este lege de compoziție pe \(M\) (parte stabilă); (2) \(*\) este asociativă; (3) există element neutru. Dacă în plus \(*\) este comutativă, monoidul este comutativ (abelian).

Grup

\((G,*)\) este grup dacă: (1) \(*\) este lege de compoziție pe \(G\); (2) \(*\) este asociativă; (3) există element neutru \(e\); (4) orice element este simetrizabil. Dacă în plus \(*\) este comutativă, grupul este abelian.

Inel și corp

\((A,+,\cdot)\) este inel dacă: (1) \((A,+)\) este grup abelian; (2) \((A,\cdot)\) este monoid; (3) înmulțirea este distributivă față de adunare.

\((K,+,\cdot)\) este corp dacă: (1) \((K,+)\) este grup abelian; (2) \((K\setminus\{0\},\cdot)\) este grup; (3) distributivitate. Dacă înmulțirea este comutativă, inelul (corpul) este comutativ.

Exemple clasice: \((\mathbb{Z},+)\), \((\mathbb{Q},+)\), \((\mathbb{R},+)\), \((\mathbb{C},+)\) sunt grupuri abeliene; \((\mathbb{Q}^*,\cdot)\), \((\mathbb{R}^*,\cdot)\) sunt grupuri abeliene; \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) este inel comutativ; \((\mathbb{Q},+,\cdot)\), \((\mathbb{R},+,\cdot)\), \((\mathbb{C},+,\cdot)\) sunt corpuri comutative; \((\mathbb{Z}_n,+,\cdot)\) este corp \(\Leftrightarrow\) \(n\) este număr prim.

Subgrup

\(H\subseteq G\), \(H\ne\emptyset\), este subgrup al lui \((G,*)\) dacă:

\(\forall x,y\in H\ \Rightarrow\ x*y^{\prime}\in H\)(echivalent: \(H\) parte stabilă și \(\forall x\in H\ \Rightarrow\ x^{\prime}\in H\)).

↑ Cuprins

12.3Morfisme și izomorfisme

Definiții

Fie \((G,*)\) și \((G^{\prime},\circ)\) două grupuri. \(f:G\to G^{\prime}\) este morfism de grupuri dacă \[f(x*y)=f(x)\circ f(y),\qquad \forall x,y\in G.\]

Dacă \(f\) este în plus bijectivă, \(f\) este izomorfism și scriem \(G\cong G^{\prime}\).

Pentru inele \((A,+,\cdot)\) și \((A^{\prime},\oplus,\odot)\), \(f:A\to A^{\prime}\) este morfism de inele dacă

\(f(x+y)=f(x)\oplus f(y)\),\(f(x\cdot y)=f(x)\odot f(y)\),\(f(1_A)=1_{A^{\prime}}\).

Proprietăți ale morfismelor de grupuri:

\(f(e_G)=e_{G^{\prime}}\),\(f(x^{\prime})=\big(f(x)\big)^{\prime}\),\(f(x^n)=\big(f(x)\big)^n\)

Exemplul 12.3

Arătați că \(f:\mathbb{R}\to(0,\infty)\), \(f(x)=2^x\), este izomorfism de la \((\mathbb{R},+)\) la \(\big((0,\infty),\cdot\big)\).

Rezolvare

\(f(x+y)=2^{x+y}=2^x\cdot2^y=f(x)\cdot f(y)\), deci \(f\) este morfism. \(f\) este bijectivă (funcția exponențială este strict crescătoare și surjectivă pe \((0,\infty)\)), deci este izomorfism.

Exemplul 12.4

Pe \(G=(3,\infty)\) se definește \(x*y=(x-3)(y-3)+3\). Arătați că \((G,*)\) este grup abelian.

Rezolvare

Parte stabilă: pentru \(x,y\gt 3\) avem \((x-3)(y-3)\gt 0\), deci \(x*y\gt 3\). Asociativitate și comutativitate: rezultă din forma canonică (înmulțirea numerelor reale este asociativă și comutativă). Element neutru: \((x-3)(e-3)+3=x\ \Rightarrow\ e-3=1\ \Rightarrow\ e=4\in G\). Simetric: \[(x-3)(x^{\prime}-3)=1\ \Rightarrow\ x^{\prime}=3+\dfrac{1}{x-3}\gt 3.\] Deci \((G,*)\) este grup abelian.

↑ Cuprins

12.4Clase de resturi \(\mathbb{Z}_n\)

\(\mathbb{Z}_n=\{\hat{0},\hat{1},\dots,\widehat{n-1}\}\), cu operațiile \(\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}\) și \(\hat{a}\cdot\hat{b}=\widehat{a\cdot b}\) (resturi modulo \(n\)).

\((\mathbb{Z}_n,+)\) este grup abelian, cu \(n\) elemente;
\(\hat{a}\) este inversabil în \((\mathbb{Z}_n,\cdot)\) \(\Leftrightarrow\) \((a,n)=1\);
\(\mathbb{Z}_n\) este corp \(\Leftrightarrow\) \(n\) este prim.

Exemplul 12.5

În \(\mathbb{Z}_5\) calculați \(\hat{3}+\hat{4}\) și \(\hat{3}\cdot\hat{4}\).

Rezolvare

\(\hat{3}+\hat{4}=\hat{7}=\hat{2}\);\(\hat{3}\cdot\hat{4}=\widehat{12}=\hat{2}\).

Exemplul 12.6

Rezolvați în \(\mathbb{Z}_6\) ecuația \(\hat{2}x=\hat{4}\).

Rezolvare

Verificăm toate elementele: \(x=\hat{2}\ \Rightarrow\ \hat{4}\) ✓; \(x=\hat{5}\ \Rightarrow\ \widehat{10}=\hat{4}\) ✓. Deci \(S=\{\hat{2},\hat{5}\}\). (Ecuația are două soluții deoarece \(\hat{2}\) nu este inversabil în \(\mathbb{Z}_6\).)

↑ Cuprins

Capitol din culegerea Formule esențiale – clasele IX–XII, Bacalaureat, autor prof. Andrei Dobre (Math Academy®).