Numere reale. Puteri și radicali – teorie, formule și exemple rezolvate

Evaluarea Națională – clasa a VIII-a · Algebră. Mulțimea numerelor reale, compararea și ordonarea lor, modulul, intervalele, aproximările, puterile cu exponent întreg, radicalii, raționalizarea numitorului și mediile, cu exemple rezolvate de tipul subiectelor de Evaluare Națională.

4.1Mulțimea numerelor reale

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}\) – numere naturale\(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) – numere întregi

\(\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{m}{n}\ \Big|\ m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{Z}^*\right\}\) – numere raționale\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) – numere iraționale

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R},\qquad \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\]

Definiție

Un număr real care nu poate fi scris sub forma \(\dfrac{m}{n}\), cu \(m\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{Z}^*\), se numește număr irațional. Scrierea zecimală a unui număr irațional este infinită și neperiodică.

Exemple de numere iraționale: \(\sqrt2=1{,}41421\dots\), \(\sqrt3\), \(\sqrt5\), \(\pi=3{,}14159\dots\), \(2+\sqrt3\), \(0{,}101001000\dots\)

Observație

Numerele raționale au scrierea zecimală finită (\(0{,}25\)) sau periodică (\(0{,}(3)\), \(1{,}2(7)\)).
Dacă \(n\in\mathbb{N}\) nu este pătrat perfect, atunci \(\sqrt n\) este număr irațional.
Suma dintre un număr rațional și unul irațional este un număr irațional. Produsul dintre un număr rațional nenul și unul irațional este irațional.

Axa numerelor

O axă este o dreaptă pe care s-au fixat o origine \(O\) (corespunzătoare lui \(0\)), un sens pozitiv și o unitate de măsură. Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe axă și fiecărui punct de pe axă îi corespunde un singur număr real, numit abscisa punctului.

Exemplul 4.1

Se consideră mulțimea \(A=\left\{-3;\ \sqrt{16};\ -\dfrac34;\ \sqrt5;\ 0{,}(3);\ \pi;\ \sqrt{0{,}25};\ 1-\sqrt2\right\}\). Determinați \(A\cap\mathbb{N}\), \(A\cap\mathbb{Z}\) și \(A\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\).

Rezolvare

\(\sqrt{16}=4\), \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\), iar \(0{,}(3)=\dfrac13\) este rațional. Numerele \(\sqrt5\) (5 nu este pătrat perfect), \(\pi\) și \(1-\sqrt2\) sunt iraționale.

\(A\cap\mathbb{N}=\{4\}\), \(A\cap\mathbb{Z}=\{-3;\ 4\}\), \(A\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\{\sqrt5;\ \pi;\ 1-\sqrt2\}\).

↑ Cuprins

4.2Relația de ordine. Compararea numerelor reale

Oricare ar fi numerele reale \(a\) și \(b\), are loc exact una dintre relațiile \(a\lt b\), \(a=b\), \(a\gt b\). Pe axă, dintre două numere este mai mare cel situat mai la dreapta.

Proprietățile relației „\(\le\)”

Reflexivitate: \(a\le a\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).
Antisimetrie: dacă \(a\le b\) și \(b\le a\), atunci \(a=b\).
Tranzitivitate: dacă \(a\le b\) și \(b\le c\), atunci \(a\le c\).
Compatibilitatea cu adunarea: dacă \(a\le b\), atunci \(a+c\le b+c\), pentru orice \(c\in\mathbb{R}\).
Compatibilitatea cu înmulțirea: dacă \(a\le b\) și \(c\gt0\), atunci \(a\cdot c\le b\cdot c\); dacă \(a\le b\) și \(c\lt0\), atunci \(a\cdot c\ge b\cdot c\) (sensul se schimbă).
Dacă \(a\le b\) și \(c\le d\), atunci \(a+c\le b+d\).

Metode de comparare a numerelor reale

1. Pentru \(a,b\ge0\): \(\ a\lt b\iff a^2\lt b^2\iff\sqrt a\lt\sqrt b\).

2. Se introduc factorii sub radical: \(3\sqrt2=\sqrt{18}\), \(2\sqrt5=\sqrt{20}\), apoi se compară numerele de sub radical.

3. Se studiază semnul diferenței: \(a\lt b\iff a-b\lt0\).

4. Se încadrează numerele între două numere cunoscute: \(4\lt\sqrt{17}\lt5\), pentru că \(16\lt17\lt25\).

5. Pentru numere negative: \(a\lt b\iff -a\gt-b\) (ex.: \(-\sqrt{10}\lt-3\), deoarece \(\sqrt{10}\gt3\)).

Exemplul 4.2

Ordonați crescător numerele \(a=2\sqrt5\), \(b=3\sqrt2\), \(c=4\) și \(d=\sqrt{19}\).

Rezolvare

Introducem factorii sub radical: \(a=\sqrt{20}\), \(b=\sqrt{18}\), \(c=\sqrt{16}\), \(d=\sqrt{19}\).

Cum \(16\lt18\lt19\lt20\), obținem \(c\lt b\lt d\lt a\), adică \(4\lt3\sqrt2\lt\sqrt{19}\lt2\sqrt5\).

Exemplul 4.3

Comparați numerele \(x=\sqrt7-2\) și \(y=\dfrac12\).

Rezolvare

\(x\lt y\iff\sqrt7\lt2{,}5\iff7\lt6{,}25\), fals. Deci \(x\gt y\) (ambele numere \(\sqrt7\) și \(2{,}5\) sunt pozitive, deci putem compara pătratele).

↑ Cuprins

4.3Modulul unui număr real

Definiție

Modulul (valoarea absolută) numărului real \(x\) este

\[|x|=\begin{cases}\ \ x, & x\ge0\\ -x, & x\lt0\end{cases}\]

Geometric, \(|x|\) este distanța de la punctul de abscisă \(x\) la originea axei, iar \(|x-y|\) este distanța dintre punctele de abscise \(x\) și \(y\).

Exemple: \(|-7|=7\), \(|3|=3\), \(|0|=0\), \(\left|-\dfrac25\right|=\dfrac25\).

\(|x|\ge0\);\(|x|=0\iff x=0\);\(|-x|=|x|\);\(|x|^2=x^2\)

\(|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\);\(\left|\dfrac xy\right|=\dfrac{|x|}{|y|},\ y\ne0\);\(\sqrt{x^2}=|x|\)

Pentru \(a\gt0\): \(\ |x|=a\iff x\in\{-a,\ a\}\);\(|x|\le a\iff -a\le x\le a\)

\(|x|\ge a\iff x\le-a\ \text{sau}\ x\ge a\)

Atenție

Pentru a scoate de sub modul o expresie cu radicali, stabilim întâi semnul ei: \(|\sqrt3-2|=2-\sqrt3\), deoarece \(\sqrt3\lt2\), deci \(\sqrt3-2\lt0\). Greșeala frecventă este \(|\sqrt3-2|=\sqrt3-2\), care ar da un modul negativ.

Maximul și minimul a două numere

\(\max(a,b)=\begin{cases}a, & a\ge b\\ b, & a\lt b\end{cases}\)\(\min(a,b)=\begin{cases}a, & a\le b\\ b, & a\gt b\end{cases}\)

Exemple: \(\max(-2,-3)=-2\), \(\min(-5,5)=-5\), \(\max(\sqrt{10},3)=\sqrt{10}\).

Exemplul 4.4

Arătați că numărul \(a=|1-\sqrt2|+|\sqrt2-3|\) este natural.

Rezolvare

\(1\lt\sqrt2\lt3\) (deoarece \(1\lt2\lt9\)), deci \(1-\sqrt2\lt0\) și \(\sqrt2-3\lt0\).

\(a=(\sqrt2-1)+(3-\sqrt2)=2\in\mathbb{N}\).

Exemplul 4.5

Calculați \(\sqrt{(2-\sqrt5)^2}+\sqrt{(\sqrt5-1)^2}\).

Rezolvare

Folosim \(\sqrt{x^2}=|x|\): suma este \(|2-\sqrt5|+|\sqrt5-1|=(\sqrt5-2)+(\sqrt5-1)=2\sqrt5-3\), deoarece \(2\lt\sqrt5\) și \(1\lt\sqrt5\).

↑ Cuprins

4.4Intervale de numere reale

Fie \(a,b\in\mathbb{R}\), \(a\lt b\). Parantezele drepte „[ ]” arată că extremitatea aparține intervalului, iar cele rotunde „( )” că extremitatea nu aparține intervalului. Pe axă, extremitatea inclusă se marchează cu un punct plin, iar cea exclusă cu un punct gol.

Interval	Mulțimea	Denumire
\([a;b]\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}\)	închis
\((a;b)\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid a\lt x\lt b\}\)	deschis
\([a;b)\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\lt b\}\)	închis la stânga, deschis la dreapta
\((a;b]\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid a\lt x\le b\}\)	deschis la stânga, închis la dreapta
\([a;+\infty)\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge a\}\)	nemărginite
\((a;+\infty)\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid x\gt a\}\)
\((-\infty;a]\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid x\le a\}\)
\((-\infty;a)\)	\(\{x\in\mathbb{R}\mid x\lt a\}\)

Observație

Primele patru intervale sunt mărginite; \(\mathbb{R}=(-\infty;+\infty)\). La \(\pm\infty\) paranteza este întotdeauna rotundă.
Cu intervalele se pot face toate operațiile cu mulțimi (reuniune, intersecție, diferență); rezultatul se citește cel mai ușor pe axă.
Pentru \(a\gt0\): \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\lt a\}=(-a;a)\), \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\le a\}=[-a;a]\), \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\gt a\}=(-\infty;-a)\cup(a;+\infty)\), \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\ge a\}=(-\infty;-a]\cup[a;+\infty)\).

Exemplul 4.6

Fie \(A=[-2;3)\) și \(B=(1;5]\). Determinați \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\setminus B\) și \(A\cap\mathbb{Z}\).

Rezolvare

\(A\cap B=(1;3)\), \(A\cup B=[-2;5]\), \(A\setminus B=[-2;1]\) (numărul 1 aparține lui \(A\), dar nu lui \(B\)), \(A\cap\mathbb{Z}=\{-2,-1,0,1,2\}\).

Exemplul 4.7

Scrieți sub formă de interval mulțimea \(M=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-1|\le2\}\).

Rezolvare

\(|x-1|\le2\iff-2\le x-1\le2\iff-1\le x\le3\). Deci \(M=[-1;3]\).

↑ Cuprins

4.5Aproximări. Partea întreagă și partea fracționară

Aproximări

Fie \(x=\sqrt2=1{,}41421\dots\) Aproximarea cu o eroare mai mică decât \(\dfrac{1}{100}\) (la sutimi):

prin lipsă (se păstrează primele zecimale): \(\sqrt2\approx1{,}41\);
prin adaos (ultima cifră păstrată crește cu 1): \(\sqrt2\approx1{,}42\);
rotunjirea: dacă prima cifră neglijată este \(0,1,2,3\) sau \(4\) se aproximează prin lipsă, iar dacă este \(5,6,7,8\) sau \(9\), prin adaos: \(\sqrt2\approx1{,}41\) (la sutimi), \(\sqrt2\approx1{,}4\) (la zecimi), \(\pi\approx3{,}14\), \(\sqrt3=1{,}732\dots\approx1{,}73\).

Partea întreagă și partea fracționară

Partea întreagă a numărului real \(x\), notată \([x]\), este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu \(x\). Partea fracționară a lui \(x\) este \(\{x\}=x-[x]\).

\([x]=k\iff k\in\mathbb{Z}\ \text{și}\ k\le x\lt k+1\)\(0\le\{x\}\lt1\)\(x=[x]+\{x\}\)

Rotunjirea la unități: dacă \(\{x\}\lt0{,}5\), atunci \(x\approx[x]\); dacă \(\{x\}\ge0{,}5\), atunci \(x\approx[x]+1\).

Exemple: \([2{,}3]=2\), \(\{2{,}3\}=0{,}3\); \([-4{,}37]=-5\), \(\{-4{,}37\}=-4{,}37-(-5)=0{,}63\).

Atenție

Pentru numere negative partea întreagă nu se obține „tăind zecimalele”: \([-4{,}37]=-5\), nu \(-4\), deoarece \(-5\le-4{,}37\lt-4\). Partea fracționară nu este niciodată negativă.

Exemplul 4.8

Determinați partea întreagă a numărului \(\sqrt{30}\) și aproximarea prin rotunjire la zecimi a numărului \(2\sqrt3\), știind că \(\sqrt3\approx1{,}732\).

Rezolvare

\(25\lt30\lt36\Rightarrow5\lt\sqrt{30}\lt6\), deci \([\sqrt{30}]=5\).

\(2\sqrt3\approx2\cdot1{,}732=3{,}464\); prima cifră neglijată este 6, deci \(2\sqrt3\approx3{,}5\).

Exemplul 4.9

Câte numere întregi aparțin intervalului \(\left[-\sqrt5;\ \sqrt{10}\right]\)?

Rezolvare

\(4\lt5\lt9\Rightarrow2\lt\sqrt5\lt3\Rightarrow-3\lt-\sqrt5\lt-2\); \(9\lt10\lt16\Rightarrow3\lt\sqrt{10}\lt4\). Numerele întregi din interval sunt \(-2,-1,0,1,2,3\), adică 6 numere.

↑ Cuprins

4.6Puteri cu exponent întreg

Definiție

Pentru \(a\in\mathbb{R}\) și \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge2\): \(\ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{factori}}\) (\(a\) – baza, \(n\) – exponentul). Se mai definesc:

\[a^1=a,\qquad a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a\ne0).\]

Pentru \(a,b\in\mathbb{R}^*\) și \(m,n\in\mathbb{Z}\):

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)\(a^m:a^n=a^{m-n}\)\(\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\)

\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)\(\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)\(\left(\dfrac ab\right)^{-n}=\left(\dfrac ba\right)^n\)

\((-1)^{n}=1\) pentru \(n\) par, \((-1)^n=-1\) pentru \(n\) impar;\(1^n=1\);\(0^n=0\ (n\ge1)\)

Atenție

\(-3^2=-9\), dar \((-3)^2=9\): puterea se aplică doar bazei scrise imediat în stânga exponentului.
\(0^0\) nu are sens. \(a^{-n}\) nu este un număr negativ: \(2^{-3}=\dfrac18\).
\(\left(a^m\right)^n\ne a^{m^n}\): \(\left(2^3\right)^2=2^6\), dar \(2^{3^2}=2^9\).

Exemplul 4.10

Calculați: a) \(2^{10}\cdot4^3:8^5\); b) \((-3)^{-2}+\left(\dfrac23\right)^{-1}-5^0\).

Rezolvare

a) Scriem totul în baza 2: \(2^{10}\cdot\left(2^2\right)^3:\left(2^3\right)^5=2^{10}\cdot2^{6}:2^{15}=2^{10+6-15}=2^1=2\).

b) \(\dfrac{1}{(-3)^2}+\dfrac32-1=\dfrac19+\dfrac32-1=\dfrac{2+27-18}{18}=\dfrac{11}{18}\).

Exemplul 4.11

Comparați numerele \(2^{30}\) și \(3^{20}\).

Rezolvare

Aducem la același exponent: \(2^{30}=\left(2^3\right)^{10}=8^{10}\) și \(3^{20}=\left(3^2\right)^{10}=9^{10}\). Cum \(8\lt9\), rezultă \(2^{30}\lt3^{20}\).

↑ Cuprins

4.7Rădăcina pătrată. Proprietățile radicalilor

Pătrate perfecte

Puterea a doua a unui număr se numește pătratul acelui număr. Un număr natural care este pătratul altui număr natural se numește pătrat perfect: \(0,1,4,9,16,25,\dots\) Exemple: \(49=7^2\), \(5^{26}=\left(5^{13}\right)^2\), \(a^{2k}=\left(a^k\right)^2\).

Teoremă

Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi doar una dintre cifrele \(0,1,4,5,6,9\). În consecință, un număr natural care se termină cu \(2,3,7\) sau \(8\) nu este pătrat perfect.

Definiție

Fie \(a\ge0\). Rădăcina pătrată a lui \(a\), notată \(\sqrt a\), este numărul real nenegativ \(x\) cu proprietatea \(x^2=a\):

\[\sqrt a=x\iff x\ge0\ \text{și}\ x^2=a.\]

Exemple: \(\sqrt{81}=9\), \(\sqrt{0{,}49}=0{,}7\), \(\sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac25\). Expresia \(\sqrt{-4}\) nu are sens în \(\mathbb{R}\).

\(\left(\sqrt a\right)^2=a,\ a\ge0\)\(\sqrt{a^2}=|a|,\ a\in\mathbb{R}\)

\(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{a\cdot b},\ a,b\ge0\)\(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab},\ a\ge0,\ b\gt0\)

Scoaterea factorilor de sub radical: \(\sqrt{a^2\cdot b}=|a|\sqrt b\), \(b\ge0\)

Introducerea factorilor sub radical: \(a\sqrt b=\sqrt{a^2b}\) pentru \(a\ge0\);\(a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}\) pentru \(a\lt0\)

Exemple: \(\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6\); \(\dfrac{\sqrt8}{\sqrt2}=\sqrt4=2\); \(\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot3}=2\sqrt3\); \(\sqrt{180}=\sqrt{2^2\cdot3^2\cdot5}=6\sqrt5\); \(5\sqrt3=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{75}\); \(-2\sqrt3=-\sqrt{12}\).

Atenție

\(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\): \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), dar \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). De asemenea, \(\sqrt{a^2}=a\) este adevărat doar pentru \(a\ge0\): \(\sqrt{(-5)^2}=5\).

Exemplul 4.12

Scoateți factorii de sub radical: \(\sqrt{48}\), \(\sqrt{200}\), \(\sqrt{0{,}18}\); apoi calculați \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}\) și \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}\).

Rezolvare

\(\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3\); \(\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2\); \(\sqrt{0{,}18}=\sqrt{\dfrac{18}{100}}=\dfrac{3\sqrt2}{10}\).

\(\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\); \(\sqrt3\cdot\sqrt6=\sqrt{18}=3\sqrt2\).

Exemplul 4.13

Arătați că numărul \(\sqrt{10^n+3}\) este irațional, pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).

Rezolvare

Pentru \(n\ge1\), \(10^n\) se termină cu cifra 0, deci \(10^n+3\) se termină cu cifra 3. Un pătrat perfect nu se poate termina cu 3, deci \(10^n+3\) nu este pătrat perfect și \(\sqrt{10^n+3}\) este irațional.

↑ Cuprins

4.8Operații cu radicali. Raționalizarea numitorului

Adunare și scădere (doar pentru radicali asemenea): \(\ a\sqrt c+b\sqrt c=(a+b)\sqrt c\)

Înmulțire: \(\ a\sqrt b\cdot c\sqrt d=ac\sqrt{bd}\)Împărțire: \(\ a\sqrt b:\left(c\sqrt d\right)=\dfrac ac\sqrt{\dfrac bd}\)

Ridicare la putere: \(\ \left(a\sqrt b\right)^2=a^2b\)

Exemplu: \(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}=2\sqrt3+3\sqrt3-4\sqrt3=\sqrt3\); \(\left(2\sqrt5\right)^2=4\cdot5=20\).

Raționalizarea numitorului

A raționaliza numitorul unei fracții înseamnă a o amplifica astfel încât numitorul să nu mai conțină radicali. Pentru numitori de forma \(\sqrt x\pm\sqrt y\) sau \(m\pm\sqrt n\) se amplifică cu conjugatul numitorului și se folosește formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

\(\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\)\(\dfrac{a}{c\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{c\,b}\)(se amplifică cu \(\sqrt b\))

\(\dfrac{a}{\sqrt x+\sqrt y}=\dfrac{a\left(\sqrt x-\sqrt y\right)}{x-y}\)\(\dfrac{a}{\sqrt x-\sqrt y}=\dfrac{a\left(\sqrt x+\sqrt y\right)}{x-y}\)

\(\dfrac{a}{m+\sqrt n}=\dfrac{a\left(m-\sqrt n\right)}{m^2-n}\)\(\dfrac{a}{m-\sqrt n}=\dfrac{a\left(m+\sqrt n\right)}{m^2-n}\)

Exemplul 4.14

Raționalizați numitorii: \(\dfrac{6}{\sqrt3}\), \(\dfrac{5}{2\sqrt{10}}\), \(\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}\), \(\dfrac{4}{3+\sqrt5}\).

Rezolvare

\[\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3,\qquad \dfrac{5}{2\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{20}=\dfrac{\sqrt{10}}{4},\] \[\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{3-2}=\sqrt3+\sqrt2,\qquad \dfrac{4}{3+\sqrt5}=\dfrac{4\left(3-\sqrt5\right)}{9-5}=3-\sqrt5.\]

Exemplul 4.15

Arătați că numărul \(N=\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}+\dfrac{2}{\sqrt5+\sqrt3}-\sqrt{20}\) este natural.

Rezolvare

\(\dfrac{2}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{2\left(\sqrt5+\sqrt3\right)}{5-3}=\sqrt5+\sqrt3\) și analog \(\dfrac{2}{\sqrt5+\sqrt3}=\sqrt5-\sqrt3\). Atunci \(N=\sqrt5+\sqrt3+\sqrt5-\sqrt3-2\sqrt5=0\in\mathbb{N}\).

↑ Cuprins

4.9Ordinea efectuării operațiilor. Medii

Ordinea efectuării operațiilor

Adunarea și scăderea sunt operații de ordinul I; înmulțirea și împărțirea – de ordinul II; ridicarea la putere și extragerea rădăcinii pătrate – de ordinul III.
Într-un exercițiu fără paranteze se efectuează întâi operațiile de ordinul III, apoi cele de ordinul II, apoi cele de ordinul I; operațiile de același ordin se efectuează de la stânga la dreapta.
Dacă există paranteze, se calculează întâi parantezele rotunde, apoi cele drepte, apoi acoladele.

Exemplul 4.16

Calculați \(2^3-3\cdot(5-2)^2:9+\sqrt{16}\cdot\left[10-2\cdot(7-3)\right]\).

Rezolvare

\(2^3-3\cdot3^2:9+4\cdot\left[10-2\cdot4\right]=8-3\cdot9:9+4\cdot2=8-3+8=13\).

Medii

Media aritmetică: \(\ m_a=\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\)pentru două numere: \(\ m_a=\dfrac{a+b}{2}\)

Media geometrică (proporțională) a două numere nenegative: \(\ m_g=\sqrt{a\cdot b},\ a,b\ge0\)

Media aritmetică ponderată a numerelor \(a_1,\dots,a_n\) cu ponderile \(p_1,\dots,p_n\gt0\):

\[m_p=\dfrac{a_1p_1+a_2p_2+\ldots+a_np_n}{p_1+p_2+\ldots+p_n}\]

Dacă \(0\le a\le b\), atunci \(a\le m_g\le m_a\le b\).

Exemple: pentru \(2,5,8\): \(m_a=\dfrac{2+5+8}{3}=5\); pentru \(2\) și \(8\): \(m_g=\sqrt{16}=4\); pentru \(2\sqrt5\) și \(3\sqrt2\) cu ponderile 2 și 5: \(m_p=\dfrac{4\sqrt5+15\sqrt2}{7}\).

Exemplul 4.17

Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor \(a=\sqrt3+1\) și \(b=\sqrt3-1\).

Rezolvare

\(m_a=\dfrac{\sqrt3+1+\sqrt3-1}{2}=\sqrt3\); \(m_g=\sqrt{\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)}=\sqrt{3-1}=\sqrt2\). Se verifică \(m_g\lt m_a\).

Exemplul 4.18

Un elev are la matematică notele 9 (de trei ori) și 7 (de două ori). Calculați media notelor.

Rezolvare

\(m_p=\dfrac{9\cdot3+7\cdot2}{3+2}=\dfrac{27+14}{5}=\dfrac{41}{5}=8{,}2\).

↑ Cuprins

Rescris și completat după Breviar teoretic cu exemple concrete pentru Evaluarea Națională, prof. Ignătescu Viorel Ovidiu (Revista Mateinfo.ro, 2010).