mateinfo.roANDREI OCTAVIAN DOBRE20 ani20ANI Contact

Teorie geometrie plană gimnaziu – formule și exemple rezolvate

Teoria de geometrie plană din gimnaziu, pe capitole: unghiuri, triunghiuri, asemănare, relații metrice, patrulatere, arii și cercul – fiecare cu un exemplu rezolvat.

1Unghiuri

  • Unghiuri complementare: suma măsurilor este \(90^\circ\); suplementare: suma este \(180^\circ\).
  • Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
  • Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este \(360^\circ\).
  • Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri congruente.

Exemplu

Un unghi are \(35^\circ\). Aflați complementul și suplementul său.
Rezolvare
Complementul: \(90^\circ-35^\circ=55^\circ\). Suplementul: \(180^\circ-35^\circ=145^\circ\).

↑ Cuprins

2Drepte paralele tăiate de o secantă

  • Dacă două drepte paralele sunt tăiate de o secantă, atunci:
  • unghiurile alterne interne (și alterne externe) sunt congruente;
  • unghiurile corespondente sunt congruente;
  • unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma \(180^\circ\)).
  • Reciprocele sunt adevărate și se folosesc pentru a demonstra că două drepte sunt paralele.

Exemplu

Dreptele \(a\parallel b\) sunt tăiate de secanta \(c\). Unul dintre unghiurile formate are \(70^\circ\). Ce măsuri au celelalte unghiuri?
Rezolvare
Cele 8 unghiuri formate au doar două măsuri: \(70^\circ\) (unghiurile congruente cu el – opuse la vârf, alterne, corespondente) și \(180^\circ-70^\circ=110^\circ\) (unghiurile suplementare cu el).

↑ Cuprins

3Triunghiul. Linii importante

Suma unghiurilor unui triunghi: \(\hat A+\hat B+\hat C=180^\circ\)

Unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el

Inegalitatea triunghiului: fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două

  • Medianele se intersectează în centrul de greutate G, situat pe fiecare mediană la \(\frac23\) de vârf și \(\frac13\) de bază.
  • Bisectoarele → centrul cercului înscris I; înălțimile → ortocentrul H; mediatoarele → centrul cercului circumscris O.

Exemplu

În triunghiul \(ABC\), \(\hat A=50^\circ\), \(\hat B=60^\circ\). Aflați \(\hat C\) și unghiul exterior din vârful \(C\). Dacă mediana \(AM\) are 12 cm, cât este \(AG\)?
Rezolvare
\(\hat C=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\). Unghiul exterior din \(C\): \(50^\circ+60^\circ=110^\circ\) (sau \(180^\circ-70^\circ\)).
\(AG=\frac23\cdot12=8\) cm.

↑ Cuprins

4Triunghiuri particulare

  • Triunghiul isoscel: unghiurile de la bază sunt congruente; înălțimea din vârf este și mediană, bisectoare, mediatoare.
  • Triunghiul echilateral (latura \(\ell\)): toate unghiurile au \(60^\circ\).
  • Triunghiul dreptunghic: mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză; cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză.

Triunghi echilateral: \(h=\dfrac{\ell\sqrt3}{2},\)\( \mathcal{A}=\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4}\)

Exemplu

Un triunghi echilateral are latura de 6 cm. Aflați înălțimea și aria.
Rezolvare
\(h=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) cm; \(\mathcal{A}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3\) cm².

↑ Cuprins

5Congruența triunghiurilor

  • Cazuri pentru triunghiuri oarecare: LUL (latură–unghi–latură), ULU (unghi–latură–unghi), LLL (latură–latură–latură).
  • Cazuri pentru triunghiuri dreptunghice: CC (catetă–catetă), CU (catetă–unghi), IC (ipotenuză–catetă), IU (ipotenuză–unghi).
  • Din congruența a două triunghiuri rezultă congruența elementelor corespunzătoare.

Exemplu

În triunghiul isoscel \(ABC\) (\(AB=AC\)), \(AD\) este bisectoarea unghiului \(A\), \(D\in BC\). Arătați că \(BD=DC\).
Rezolvare
Triunghiurile \(ABD\) și \(ACD\) au: \(AB=AC\) (ipoteză), \(\angle BAD\equiv\angle CAD\) (\(AD\) bisectoare), \(AD\) latură comună.
Din cazul LUL, \(\triangle ABD\equiv\triangle ACD\), deci \(BD=DC\).

↑ Cuprins

6Linia mijlocie

Dacă \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(AB\) și \(AC\), atunci \(MN\parallel BC\) și \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

Linia mijlocie a trapezului: \(\dfrac{B+b}{2}\)

Exemplu

În triunghiul \(ABC\), \(BC=14\) cm, iar \(M,N\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), \(AC\). Aflați \(MN\).
Rezolvare
\(MN\) este linie mijlocie, deci \(MN=\dfrac{14}{2}=7\) cm (și \(MN\parallel BC\)).

↑ Cuprins

7Teorema lui Thales. Asemănarea triunghiurilor

Thales: dacă \(DE\parallel BC\) (\(D\in AB,\ E\in AC\)), atunci \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

Teorema fundamentală a asemănării: \(DE\parallel BC\Rightarrow\triangle ADE\sim\triangle ABC\) și \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\)

  • Cazuri de asemănare: UU (două unghiuri congruente), LUL, LLL (laturi proporționale).
  • Dacă raportul de asemănare este \(k\), raportul ariilor este \(k^2\).

Exemplu

În triunghiul \(ABC\), \(DE\parallel BC\), \(D\in AB\), \(E\in AC\), \(AD=4\) cm, \(DB=6\) cm, \(AE=6\) cm, \(BC=15\) cm. Aflați \(EC\) și \(DE\).
Rezolvare
Thales: \(\dfrac46=\dfrac{6}{EC}\Rightarrow EC=9\) cm.
TFA: \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{10}\Rightarrow DE=\dfrac{4\cdot15}{10}=6\) cm.

↑ Cuprins

8Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Teorema lui Pitagora: \(BC^2=AB^2+AC^2\)

Teorema înălțimii: \(AD^2=BD\cdot DC\)

Teorema catetei: \(AB^2=BD\cdot BC,\quad AC^2=DC\cdot BC\)

Înălțimea: \(AD=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)

ABCDh

Exemplu

Triunghiul \(ABC\) are \(\hat A=90^\circ\), \(AB=6\) cm, \(AC=8\) cm, iar \(AD\perp BC\). Aflați \(BC\), \(AD\) și \(BD\).
Rezolvare
Pitagora: \(BC=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) cm.
\(AD=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8\) cm.
Teorema catetei: \(AB^2=BD\cdot BC\Rightarrow36=BD\cdot10\Rightarrow BD=3{,}6\) cm.

↑ Cuprins

9Elemente de trigonometrie

\(\sin B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}},\quad \cos B=\dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}},\quad \operatorname{tg}B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}\)

\(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\)
sin \(\frac12\) \(\frac{\sqrt2}2\) \(\frac{\sqrt3}2\)
cos \(\frac{\sqrt3}2\) \(\frac{\sqrt2}2\) \(\frac12\)
tg \(\frac{\sqrt3}3\) \(1\) \(\sqrt3\)

Exemplu

Triunghiul \(ABC\) are \(\hat A=90^\circ\), \(\hat B=30^\circ\) și \(BC=12\) cm. Aflați catetele.
Rezolvare
\(AC=BC\cdot\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6\) cm (cateta opusă unghiului de \(30^\circ\)).
\(AB=BC\cdot\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\) cm.

↑ Cuprins

10Patrulatere

  • Paralelogramul: laturile opuse paralele și congruente, unghiurile opuse congruente, diagonalele se înjumătățesc.
  • Dreptunghiul: paralelogram cu un unghi drept; diagonalele sunt congruente.
  • Rombul: paralelogram cu laturile congruente; diagonalele sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor.
  • Pătratul: dreptunghi și romb în același timp; diagonala \(d=\ell\sqrt2\).
  • Suma unghiurilor unui patrulater convex este \(360^\circ\).

Exemplu

Un pătrat are latura de 5 cm. Aflați diagonala, perimetrul și aria.
Rezolvare
\(d=5\sqrt2\) cm; \(P=4\cdot5=20\) cm; \(\mathcal{A}=5^2=25\) cm².

↑ Cuprins

11Arii

Triunghi: \(\mathcal{A}=\dfrac{b\cdot h}{2}\);  triunghi dreptunghic: \(\mathcal{A}=\dfrac{c_1\cdot c_2}{2}\);  \(\mathcal{A}=\dfrac{a\cdot b\cdot\sin C}{2}\)

Paralelogram: \(\mathcal{A}=b\cdot h\);  dreptunghi: \(\mathcal{A}=L\cdot\ell\);  pătrat: \(\mathcal{A}=\ell^2\)

Romb: \(\mathcal{A}=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}\);  trapez: \(\mathcal{A}=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\)

Exemplu

Un trapez are bazele de 12 cm și 6 cm și înălțimea de 4 cm. Aflați aria și linia mijlocie.
Rezolvare
\(\mathcal{A}=\dfrac{(12+6)\cdot4}{2}=36\) cm². Linia mijlocie: \(\dfrac{12+6}{2}=9\) cm.

↑ Cuprins

12Cercul. Poligoane regulate

Lungimea cercului: \(L=2\pi R\);  aria discului: \(\mathcal{A}=\pi R^2\)

Unghiul la centru are măsura arcului cuprins; unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins

Poligoane regulate înscrise în cercul de rază \(R\): \(\ell_3=R\sqrt3,\quad \ell_4=R\sqrt2,\quad \ell_6=R\)

  • Unghiul înscris într-un semicerc este drept (\(90^\circ\)).
  • Tangenta la cerc este perpendiculară pe rază în punctul de tangență.
ABOM

Exemplu

Un cerc are raza de 5 cm. Aflați lungimea cercului, aria discului și latura pătratului înscris. Dacă \(\angle AOB=80^\circ\), cât măsoară un unghi înscris \(\angle AMB\) care cuprinde același arc?
Rezolvare
\(L=2\pi\cdot5=10\pi\) cm; \(\mathcal{A}=25\pi\) cm²; \(\ell_4=5\sqrt2\) cm.
Arcul \(AB\) are \(80^\circ\), deci \(\angle AMB=\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ\).

↑ Cuprins

Toate lecțiile de geometrie plană