mateinfo.roANDREI OCTAVIAN DOBRE20 ani20ANI Contact

Teorie algebră liceu – formule și exemple rezolvate

Teoria de algebră din liceu (clasele IX–XII), pe capitole, cu formulele importante și câte un exemplu rezolvat pas cu pas – utilă pentru teze și pentru Bacalaureat.

1Progresii aritmetice și geometrice

  • Progresie aritmetică cu rația \(r\): fiecare termen se obține adunând \(r\) la cel anterior.
  • Progresie geometrică cu rația \(q\): fiecare termen se obține înmulțind cu \(q\) termenul anterior (\(b_1\ne0,\ q\ne0\)).

\(a_n=a_1+(n-1)r\)\( S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}\)\( a_k=\dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}\)

\(b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\)\( S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\ (q\ne1)\)\( b_k^2=b_{k-1}\cdot b_{k+1}\)

Exemplu

a) Într-o progresie aritmetică \(a_1=2\) și \(a_5=14\). Aflați rația și suma primilor 10 termeni. b) Calculați \(3+6+12+\dots+48\).
Rezolvare
a) \(a_5=a_1+4r\Rightarrow 14=2+4r\Rightarrow r=3\). \(a_{10}=2+9\cdot3=29\), deci \(S_{10}=\dfrac{(2+29)\cdot10}{2}=155\).
b) Progresie geometrică cu \(b_1=3,\ q=2\); \(48=3\cdot2^4\), deci sunt 5 termeni: \(S_5=3\cdot\dfrac{2^5-1}{2-1}=93\).

↑ Cuprins

2Funcții. Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate

  • \(f:A\to B\) este injectivă dacă \(x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)\) (orice paralelă la \(Ox\) taie graficul în cel mult un punct).
  • \(f\) este surjectivă dacă pentru orice \(y\in B\) există \(x\in A\) cu \(f(x)=y\), adică \(\operatorname{Im}f=B\).
  • \(f\) este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă; doar funcțiile bijective sunt inversabile.

\((f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)\)\( f\circ f^{-1}=1_B,\quad f^{-1}\circ f=1_A\)

Exemplu

Arătați că \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-3\) este bijectivă și determinați inversa ei.
Rezolvare
Injectivă: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow 2x_1-3=2x_2-3\Rightarrow x_1=x_2\).
Surjectivă: pentru \(y\in\mathbb{R}\), ecuația \(2x-3=y\) are soluția \(x=\dfrac{y+3}{2}\in\mathbb{R}\).
Deci \(f\) e bijectivă și \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\). Verificare: \(f\big(f^{-1}(x)\big)=2\cdot\dfrac{x+3}2-3=x\). ✓

↑ Cuprins

3Funcția și ecuația de gradul al II-lea

\(ax^2+bx+c=0,\ a\ne0:\quad \Delta=b^2-4ac,\)\( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

Relațiile lui Viète: \(S=x_1+x_2=-\dfrac ba,\)\( P=x_1x_2=\dfrac ca\)

Vârful parabolei \(f(x)=ax^2+bx+c\): \(V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\)

  • \(\Delta>0\): două rădăcini reale distincte; \(\Delta=0\): o rădăcină dublă; \(\Delta\lt 0\): nicio rădăcină reală.
  • Dacă \(a>0\), \(f\) are minim \(-\frac{\Delta}{4a}\); dacă \(a\lt 0\), are maxim. Între rădăcini \(f\) are semn contrar lui \(a\).

Exemplu

Fie \(f(x)=x^2-5x+6\). Rezolvați \(f(x)=0\), aflați vârful parabolei și calculați \(x_1^2+x_2^2\).
Rezolvare
\(\Delta=25-24=1\), deci \(x_1=\dfrac{5-1}{2}=2,\ x_2=\dfrac{5+1}2=3\).
\(V\left(\dfrac52,\,-\dfrac14\right)\), iar \(-\dfrac14\) este valoarea minimă a funcției.
\(x_1^2+x_2^2=S^2-2P=25-12=13\) (verificare: \(4+9=13\)). ✓

↑ Cuprins

4Puteri, radicali, exponențiale și logaritmi

  • Pentru \(a>0,\ a\ne1\): \(a^x>0\) pentru orice \(x\); funcția \(a^x\) este crescătoare dacă \(a>1\) și descrescătoare dacă \(0\lt a\lt 1\).
  • Logaritmul: \(\log_a b=c\iff a^c=b\), definit pentru \(b>0,\ a>0,\ a\ne1\).

\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\)\( \log_a\dfrac xy=\log_a x-\log_a y\)\( \log_a x^n=n\log_a x\)

\(\log_a a=1,\quad \log_a 1=0,\quad a^{\log_a x}=x,\quad \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)

Exemplu

Rezolvați: a) \(2^{x+1}=16\); b) \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\).
Rezolvare
a) \(2^{x+1}=2^4\Rightarrow x+1=4\Rightarrow x=3\).
b) Condiții: \(x-1>0\) și \(x+1>0\Rightarrow x>1\). Ecuația devine \(\log_2(x^2-1)=3\Rightarrow x^2-1=8\Rightarrow x=\pm3\).
Doar \(x=3\) respectă condiția \(x>1\), deci \(S=\{3\}\).

↑ Cuprins

5Elemente de combinatorică

\(P_n=n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n,\quad 0!=1\)

\(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)\( C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)\( (0\le k\le n)\)

\(C_n^k=C_n^{n-k}\)\( C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\)\( C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n\)

  • Permutări – ordonăm toate cele \(n\) elemente; aranjamente – alegem \(k\) elemente și contează ordinea; combinări – alegem \(k\) elemente și ordinea nu contează.
  • O mulțime cu \(n\) elemente are \(2^n\) submulțimi.

Exemplu

a) În câte moduri putem alege 3 elevi dintr-o clasă de 10? Dar un președinte, un vicepreședinte și un secretar? b) Rezolvați \(C_n^2=15\).
Rezolvare
a) Ordinea nu contează: \(C_{10}^3=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3!}=120\). Funcțiile sunt diferite, deci contează ordinea: \(A_{10}^3=10\cdot9\cdot8=720\).
b) \(\dfrac{n(n-1)}2=15\Rightarrow n^2-n-30=0\Rightarrow n=6\) (soluția \(n=-5\) nu convine, pentru că \(n\in\mathbb{N},\ n\ge2\)).

↑ Cuprins

6Binomul lui Newton

\((a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+\dots+C_n^ka^{n-k}b^k+\dots+C_n^nb^n\)

Termenul general: \(T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}\,b^k,\quad k=0,1,\dots,n\)

  • Dezvoltarea are \(n+1\) termeni; coeficienții binomiali \(C_n^k\) sunt simetrici.
  • Suma coeficienților se obține punând \(a=b=1\): \(2^n\).

Exemplu

Determinați termenul care nu îl conține pe \(x\) din dezvoltarea \(\left(x+\dfrac1x\right)^6\).
Rezolvare
\(T_{k+1}=C_6^k\,x^{6-k}\left(\dfrac1x\right)^k=C_6^k\,x^{6-2k}\).
Termenul nu conține \(x\) dacă \(6-2k=0\Rightarrow k=3\). Termenul căutat este \(T_4=C_6^3=20\).

↑ Cuprins

7Numere complexe

\(z=a+bi,\ a,b\in\mathbb{R},\ i^2=-1\)\( \bar z=a-bi\)\( |z|=\sqrt{a^2+b^2}\)\( z\cdot\bar z=|z|^2\)

\(i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1\) (puterile lui \(i\) se repetă din 4 în 4)

Forma trigonometrică: \(z=r(\cos t+i\sin t)\), \(r=|z|\); Moivre: \(z^n=r^n(\cos nt+i\sin nt)\)

  • Împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului.

Exemplu

Calculați: a) \((1+2i)(3-i)\) și modulul rezultatului; b) \(\dfrac{1}{1+i}\); c) \((1+i)^8\).
Rezolvare
a) \(3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i\); \(|5+5i|=\sqrt{25+25}=5\sqrt2\).
b) \(\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac12-\dfrac12 i\).
c) \((1+i)^2=1+2i+i^2=2i\), deci \((1+i)^8=(2i)^4=16i^4=16\).

↑ Cuprins

8Matrice. Operații cu matrice

  • Adunarea și înmulțirea cu un scalar se fac element cu element.
  • Produsul \(A\cdot B\) se face „linie cu coloană” și există doar dacă numărul de coloane ale lui \(A\) este egal cu numărul de linii ale lui \(B\). În general \(AB\ne BA\).
  • Transpusa \(A^t\) se obține schimbând liniile cu coloanele.

\(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bt\\cx+dz&cy+dt\end{pmatrix}\qquad I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

Exemplu

Fie \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\). Calculați \(A^2\) și deduceți \(A^n\).
Rezolvare
\(A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0&1\cdot2+2\cdot1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\).
La fel, \(A^3=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}\). Se observă (și se demonstrează prin inducție) că \(A^n=\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}\).

↑ Cuprins

9Determinanți. Inversa unei matrice

\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)

Regula lui Sarrus: \(\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\)

\(\det(AB)=\det A\cdot\det B\); \(A\) este inversabilă \(\iff\det A\ne0\), iar \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}A^*\)

Pentru matrice de ordinul 2: \(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

Exemplu

a) Calculați \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{vmatrix}\). b) Aflați inversa matricei \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\).
Rezolvare
a) \(1\cdot1\cdot0+2\cdot4\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot1\cdot5-1\cdot4\cdot6-2\cdot0\cdot0=40-15-24=1\).
b) \(\det A=6-5=1\ne0\), deci \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\).
Verificare: \(\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). ✓

↑ Cuprins

10Sisteme de ecuații liniare. Regula lui Cramer

  • Sistemul are determinantul \(\Delta\) format din coeficienții necunoscutelor. Dacă \(\Delta\ne0\), sistemul este compatibil determinat (soluție unică).
  • \(\Delta_x,\Delta_y,\dots\) se obțin înlocuind coloana necunoscutei respective cu coloana termenilor liberi.

\(x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta},\)\( y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta},\)\( z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta}\)

Exemplu

Rezolvați cu regula lui Cramer sistemul \(\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}\).
Rezolvare
\(\Delta=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3\ne0\); \(\Delta_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-6\); \(\Delta_y=\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}=-3\).
\(x=\dfrac{-6}{-3}=2,\ y=\dfrac{-3}{-3}=1\). Verificare: \(2\cdot2+1=5\), \(2-1=1\). ✓

↑ Cuprins

11Legi de compoziție. Grupuri

  • O lege \(x\circ y\) pe \(M\) este asociativă dacă \((x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)\) și comutativă dacă \(x\circ y=y\circ x\).
  • \(e\) este element neutru dacă \(x\circ e=e\circ x=x\); \(x^{\prime}\) este simetricul lui \(x\) dacă \(x\circ x^{\prime}=x^{\prime}\circ x=e\).
  • \((G,\circ)\) este grup dacă legea este asociativă, are element neutru și orice element are simetric; dacă e și comutativă, grupul e abelian.

Exemplu

Pe \(\mathbb{R}\) se definește \(x\circ y=x+y-3\). Arătați că \((\mathbb{R},\circ)\) este grup abelian.
Rezolvare
Asociativitate: \((x\circ y)\circ z=x+y+z-6=x\circ(y\circ z)\). Comutativitate: evidentă.
Element neutru: \(x+e-3=x\Rightarrow e=3\).
Simetric: \(x+x^{\prime}-3=3\Rightarrow x^{\prime}=6-x\in\mathbb{R}\). Deci \((\mathbb{R},\circ)\) este grup abelian.

↑ Cuprins

12Inele și corpuri. Clase de resturi

  • \((A,+,\cdot)\) este inel dacă \((A,+)\) este grup abelian, înmulțirea este asociativă, are element neutru și este distributivă față de adunare.
  • Un inel comutativ în care orice element nenul este inversabil se numește corp.
  • În \(\mathbb{Z}_n\), clasa \(\hat k\) este inversabilă \(\iff (k,n)=1\). \(\mathbb{Z}_n\) este corp \(\iff n\) este număr prim.

Exemplu

Rezolvați în \(\mathbb{Z}_7\) ecuația \(\hat3x=\hat5\).
Rezolvare
Inversul lui \(\hat3\): \(\hat3\cdot\hat5=\widehat{15}=\hat1\), deci \(\hat3^{-1}=\hat5\).
\(x=\hat5\cdot\hat5=\widehat{25}=\hat4\). Verificare: \(\hat3\cdot\hat4=\widehat{12}=\hat5\). ✓

↑ Cuprins

13Polinoame

  • Teorema împărțirii cu rest: \(f=g\cdot q+r\), cu \(\operatorname{grad} r\lt\operatorname{grad} g\).
  • Teorema restului: restul împărțirii lui \(f\) la \(X-a\) este \(f(a)\).
  • Teorema lui Bézout: \(X-a\mid f\iff f(a)=0\) (adică \(a\) este rădăcină).

Viète pentru \(aX^3+bX^2+cX+d\): \(x_1+x_2+x_3=-\dfrac ba,\quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac ca,\quad x_1x_2x_3=-\dfrac da\)

Exemplu

Fie \(f=X^3-6X^2+11X-6\). a) Aflați restul împărțirii lui \(f\) la \(X+1\). b) Descompuneți \(f\) în factori.
Rezolvare
a) Restul este \(f(-1)=-1-6-11-6=-24\).
b) \(f(1)=1-6+11-6=0\), deci \(X-1\mid f\) și \(f=(X-1)(X^2-5X+6)=(X-1)(X-2)(X-3)\).
Verificare cu Viète: \(1+2+3=6=-\dfrac{-6}{1}\) și \(1\cdot2\cdot3=6=-\dfrac{-6}1\). ✓

↑ Cuprins

Toate lecțiile de algebră